Théorème de la divergence exemple

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Pour vous connecter et utiliser toutes les fonctionnalités de Khan Academy, veuillez activer JavaScript dans votre navigateur. Laissez-nous désigner le paraboloïde par S_1. Pour évaluer l`intégrale triple, nous pouvons changer les variables en coordonnées sphériques. Donc, . Le théorème est valable pour les régions limitées par des ellipsoïdes, des sphères et des boîtes rectangulaires, par exemple. Dans une dimension, il est équivalent au théorème fondamental du calcul. En coordonnées sphériques, la boule est begin{align *} 0 Le rho Le 3, quad 0 Le Theta Le 2 pi, quad 0 Le Phi Le pi. Sur S_2, F ==, puisque S_2 est dans le plan XY. Sur la surface S_2, le vecteur normal pointe dans la direction z négative.

Il existe diverses restrictions techniques sur la région R et la surface S; Voir les références pour les détails. Plus précisément, le théorème de divergence indique que le flux extérieur d`un champ tenseur à travers une surface fermée est égal à l`intégrale du volume de la divergence sur la région à l`intérieur de la surface. Vérifiez le théorème de divergence dans le cas où R est la région satisfaisant0. Ici div F est la divergence de F. Le théorème fut découvert par Lagrange en 1762 [9], puis redécouvert par Gauss en 1813 [10] par Ostrogradsky, qui donna aussi la première preuve du théorème général, en 1826 [11] par Green en 1828 [12], etc. Si nous faisons cela ici sont les limites pour les gammes. Trois exemples sont la Loi de Gauss (en électrostatics), la Loi de Gauss pour le magnétisme, et la Loi de Gauss pour la gravité. Il s`ensuit que le fond de R, que nous dénotent par S_2, est le disque x ^ 2 + y ^ 2<=16. We will do this with the Divergence Theorem. This equation is also known as the Divergence theorem. So, integrating the field`s divergence over the interior of the region should equal the integral of the vector field over the region`s boundary. Let R be a region in xyz space with surface S.

Compute $dsint$ where begin{align*} vc{F}=(3x+z^{77}, y^2-sin x^2z, xz+ye^{x^5}) end{align*} and $dls$ is surface of box begin{align*} 0 le x le 1, quad 0 le y le 3, quad 0 le z le 2. For spherical coordinates, we know that the Jacobian determinant is $dV = rho^2 sinphi, dphi,dtheta,drho$. If a fluid is flowing in some area, then the rate at which fluid flows out of a certain region within that area can be calculated by adding up the sources inside the region and subtracting the sinks. However, the divergence of $dlvf$ is nice: begin{align*} div dlvf = 3 + 2y +x. The outward normal vector points in the positive z direction. we=”” will=”” do=”” this=”” with=”” the=”” divergence=”” theorem.=”” this=”” equation=”” is=”” also=”” known=”” as=”” the=”” divergence=”” theorem.=”” so,=”” integrating=”” the=”” field`s=”” divergence=”” over=”” the=”” interior=”” of=”” the=”” region=”” should=”” equal=”” the=”” integral=”” of=”” the=”” vector=”” field=”” over=”” the=”” region`s=”” boundary.=”” let=”” r=”” be=”” a=”” region=”” in=”” xyz=”” space=”” with=”” surface=”” s.=”” compute=”” $dsint$=”” where=”” begin{align*}=”” vc{f}=”(3x+z^{77},” y^2-sin=”” x^2z,=”” xz+ye^{x^5})=”” end{align*}=”” and=”” $dls$=”” is=”” surface=”” of=”” box=”” begin{align*}=”” 0=”” le=”” x=”” le=”” 1,=”” quad=”” 0=”” le=”” y=”” le=”” 3,=”” quad=”” 0=”” le=”” z=”” le=”” 2.=”” for=”” spherical=”” coordinates,=”” we=”” know=”” that=”” the=”” jacobian=”” determinant=”” is=”” $dv=”rho^2″ sinphi,=”” dphi,dtheta,drho$.=”” if=”” a=”” fluid=”” is=”” flowing=”” in=”” some=”” area,=”” then=”” the=”” rate=”” at=”” which=”” fluid=”” flows=”” out=”” of=”” a=”” certain=”” region=”” within=”” that=”” area=”” can=”” be=”” calculated=”” by=”” adding=”” up=”” the=”” sources=”” inside=”” the=”” region=”” and=”” subtracting=”” the=”” sinks.=”” however,=”” the=”” divergence=”” of=”” $dlvf$=”” is=”” nice:=”” begin{align*}=”” div=”” dlvf=”3″ +=”” 2y=”” +x.=”” the=”” outward=”” normal=”” vector=”” points=”” in=”” the=”” positive=”” z=”” direction.=””> </=16. We will do this with the Divergence Theorem. This equation is also known as the Divergence theorem. So, integrating the field`s divergence over the interior of the region should equal the integral of the vector field over the region`s boundary. Let R be a region in xyz space with surface S. Compute $dsint$ where begin{align*} vc{F}=(3x+z^{77}, y^2-sin x^2z, xz+ye^{x^5}) end{align*} and $dls$ is surface of box begin{align*} 0 le x le 1, quad 0 le y le 3, quad 0 le z le 2. For spherical coordinates, we know that the Jacobian determinant is $dV = rho^2 sinphi, dphi,dtheta,drho$.

If a fluid is flowing in some area, then the rate at which fluid flows out of a certain region within that area can be calculated by adding up the sources inside the region and subtracting the sinks. However, the divergence of $dlvf$ is nice: begin{align*} div dlvf = 3 + 2y +x. The outward normal vector points in the positive z direction. >